（2011•北京模拟）当x→0时，下列4个无穷小阶数最高的是（）A．ln（1+x）-x+12x2B．1+2x−31+3xC．x−(43−13cosx)sinxD．ex4−x−1

Question

（2011•北京模拟）当x→0时，下列4个无穷小阶数最高的是（　　）

A．ln（1+x）-x+(1)/(2)x2
B．√(1+2x)−

3

1+3x

C．x−((4)/(3)−(1)/(3)cosx)sinx
D．ex4−x−1

Answer 1

∵ln(1+x)＝x−(1)/(2)x2+(1)/(3)x3−…，-1＜x≤1
(1+x)m＝1+mx+(m(m−1))/(2!)x2+(m(m−1)(m−2))/(3!)x3+…，-1＜x＜1
cosx＝1−(1)/(2!)x2+(1)/(4!)x4−…，x∈R
sinx＝x−(1)/(3!)x3+(1)/(5!)x5−…，x∈R
∴当x→0时，ln(1+x)−x+(1)/(2)x2＝(1)/(3)x3+o(x3)
√(1+2x)−

3

1+3x

＝1+x+((1)/(2)((1)/(2)−1))/(2!)4x2+o1(x2)−[1+x+((1)/(3)((1)/(3)−1))/(2!)(3x)2+o2(x2)]．=−(3)/(2)x2+o(x2)
x−((4)/(3)−(1)/(3)cosx)sinx＝x−[(4)/(3)−(1)/(3)(1−(1)/(2!)x2+o1(x2))]•[x−(1)/(6)x3+o2(x3)]＝−(1)/(36)x5+o(x5)．
而ex4−x−1～x4−x～−x
∴ln（1+x）-x+(1)/(2)x2的阶数是3；
√(1+2x)−

3

1+3x

的阶数是2；
x−((4)/(3)−(1)/(3)cosx)sinx的阶数是5；
ex4−x−1的阶数是1．
故选：C