高中数学已知x^2+2xy+4y^2=6，求z=x^2+4y^2的取值范围

Question

高中数学
已知x^2+2xy+4y^2=6，求z=x^2+4y^2的取值范围

Answer 1

由重要不等式：（x-y)^2>=0===>xy<=(x^2+y^2)/2 (1) (此式多数人会运用）
而 重要不等式：(x+y)^2>=0===>-2xy<=x^2+y^2===>xy>= -(x^2+y^2)/2 (2) (此式只有少数人会用，希望你成为少数人） 由（1）式可得 x*2y<=(x^2+4y^2)/2 ......(3)
由 （2）式 ，可得 x*2y >= -(x^2+4y^2)/2 ......(4)
因为 x^2+2xy+4y^2=6，z=x^2+4y^2===>x*2y=6-z 代入 （3）式 6-z<=z/2===>z>=4
z=x^2+4y^2，x*2y=6-z 分别代入 （4）式 ===> 6-z>= -z/2===> z<=12
所以 z=x^2+4y^2的取值范围是 [4，12].