y"-7y'+12=5的通解是什么

Question

y"-7y'+12=5的通解是什么

Answer 1

y"-7y'+12=5的通解是什么
y''=7y'-7；令y'=z,则y''=dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)=z(dz/dy),代入原式得：
z(dz/dy)=7(z-1)；分离变量得(zdz)/(z-1)=7y；
积分之,得7y=∫(zdz)/(z-1)=∫[1+1/(z-1)]dz=z+ln(z-1)+C₁
即有7y=y'+ln(y'-1)+C₁
7y-C₁=y'+ln(y'-1)=ln[(y'-1)e^(y')]
故得(y'-1)e^(y')=e^(7y-C₁)
陷入绝境!通解不可能求出,可考虑用数值解法求出特解.
如果题目是y''-7y'+12y=5那么通解可求.
先求齐次方程y''-7y'+12y=0的通
特征方程r²-7r+12=(r-3)(r-4)=0,故r₁=3,r₂=4,
该齐次方程的通解为y=C₁e^(3x)+C₂e^(4x).
故原方程的通解为y=C₁e^(3x)+C₂e^(4x)+5/12.