已知方程X^2+aX+bc=0和方程X^2+bX+ac=0有且只有一个公共根.求这两个方程的另两个根是方程X^2+cX+ab=0的根.（写出具体过程和结果）

Question

已知方程X^2+aX+bc=0和方程X^2+bX+ac=0有且只有一个公共根.求这两个方程的另两个根是方程X^2+cX+ab=0的根.
（写出具体过程和结果）

Answer 1

设他们的公共根为x0
所以X0^2+aX0+bc=X0^2+bX0+ac
(a-b)X0=(a-b)c
因为a不等于b（如果相等着两个方程就一样,那么公共根为两个）
所以x0=c
设第一个方程的另一个根为x1,设第二个方程的另一个根为x2
根据根与系数关系,x1*x0=bc
x2*x0=ac,所以x1=b x2=a
将x1=b带入第一个方程,得b^2+ab+bc=0
所以x=b时,X^2+cX+ab=b^2+ab+bc=0
将x2=a带入第二个方程,得a^2+ab+ac=0
所以x=a时,X^2+cX+ab=a^2+ac+ab=0
所以x1、x2为第三个方程的两个跟,得证