已知虚数z使得z1=z1+z2和z2=z21+z都为实数，求z．

Question

已知虚数z使得z₁=(z)/(1+z2)和z₂=(z2)/(1+z)都为实数，求z．

Answer 1

z₁=(z)/(1+z2)化为：z1+z1z2＝z…①，z₂=(z2)/(1+z)化为：z2+z2z＝z2…②，
②代入①可得：z₁+z₁（z₂+z₂z）=z，即z₁+z₁•z₂+（z₂z₁-1）•z=0，
∵z₁=(z)/(1+z2)和z₂=(z2)/(1+z)都为实数．
∴z₁z₂=1，z₁=-1，z₂=-1，
∴z²+z+1=0，∴z=(1)/(2)+(√(3))/(2)i，或者z=(1)/(2)−(√(3))/(2)i．