已知复数：z1=log2（2x+1）+ki，z2=1-xi（其中x，k∈R），记f（x）=Re（z1•z2）（1）试写出f（x）关于x的函数解析式（2）若函数f（x）是偶函数，求k的值（3）求证：对任意实数m，由

Question

已知复数：z ₁ =log ₂ （2 ^x +1）+ki，z ₂ =1-xi（其中x，k∈R），记f（x）=Re（z ₁ •z ₂ ）
（1）试写出f（x）关于x的函数解析式
（2）若函数f（x）是偶函数，求k的值
（3）求证：对任意实数m，由（2）所得函数y=f（x）的图象与直线y= (1)/(2) x+m的图象最多只有一个交点．

Answer 1

（1）∵z ₁ =log ₂ （2 ^x +1）+ki，z ₂ =1-xi
∴z ₁ •z ₂ =[log ₂ （2 ^x +1）+ki]•（1-xi）
=[log ₂ （2 ^x +1）+kx]+[k-x•log ₂ （2 ^x +1）+ki]i（2分）
f（x）=Re（z ₁ •z ₂ ）=log ₂ （2 ^x +1）+kx（2分）
（2）设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数
得：f（-x）=f（x）（4分）
log ₂ （2 ^x +1）-kx=log ₂ （2 ^x +1）+kx
2kx=log ₂ （ (2-x -1)/(2x +1) ）=-x
（2k+1）x=0
得：k=- (1)/(2) （8分）
证明：（3）由（2）得：f（x）=log ₂ （2 ^x +1）- (1)/(2) x
联立方程：y=log ₂ （2 ^x +1）- (1)/(2) x和y= (1)/(2) x+m
得：log ₂ （2 ^x +1）- (1)/(2) x= (1)/(2) x+m （10分）
即m=log ₂ （2 ^x +1）-x
log ₂ （2 ^x +1）=x+m=log ₂ 2 ^（x+m）
得：2 ^x +1=2 ^（x+m）
2 ^x •（2 ^m -1）=1（11分）
若 m=0   方程无解（12分）
若 m＜0，2 ^m -1＜0，2 ^x ＜0方程无解（13分）
若m＞0  2 ^x = (1)/(2m -1)
x=log ₂ (1)/(2m -1)
方程有唯一解（14分）
对任意实数m，函数y=f（x）的图象与直线y= (1)/(2) x+m的图象的交点最多只有一个．（15分）