设复数z为虚数，条件甲：z+1z是实数，条件乙：|z|=1，则甲是乙的条件．

Question

设复数z为虚数，条件甲：z+(1)/(z)是实数，条件乙：|z|=1，则甲是乙的______条件．

Answer 1

设z=a+bi，a，b∈R，
∵复数z为虚数，∴b≠0
则z+(1)/(z)=a+bi+(1)/(a+bi)=a+bi+(a−bi)/(a2+b2)，
若|z|=1，则a²+b²=1，
即z+(1)/(z)=a+bi+(a−bi)/(a2+b2)=a+bi+a-bi=2a是实数，必要性成立．
若z+(1)/(z)是实数，
则z+(1)/(z)=a+bi+(1)/(a+bi)=a+bi+(a−bi)/(a2+b2)=a+(a)/(a2+b2)+（b-(b)/(a2+b2)）i，
∴b-(b)/(a2+b2)=0，
解得b=0（舍去）或a²+b²=1，
∴|z|=1，充分性成立．
故甲是乙的充要条件，
故答案为：充要条件