计算由柱面x2+y2=2x、锥面2z=x2+y2及xOy平面所围立体的表面积．

Question

计算由柱面x²+y²=2x、锥面2z=√(x2+y2)及xOy平面所围立体的表面积．

Answer 1

记S₁为锥面2z＝√(x2+y2)被柱面x²+y²=2x所截部分，即锥面的部分，其面积记为A₁，
记S₂为柱面x²+y²=2x被锥面2z＝√(x2+y2)和xOy平面所截部分，即柱面的部分，其面积记为A₂，
记S₃为底面，即xoy面上的部分，其面积记为A₃，
则表面积A=A₁+A₂+A₃
假设用L表示xoy面的曲线x²+y²=2x，则L的极坐标方程为：
r＝2cosθ，−(π)/(2)≤θ≤(π)/(2)
由第一类曲面积分的几何意义，得
A1＝(1)/(2)

L

√(x2+y2)ds=(1)/(2)

∫	(π)/(2) −(π)/(2)

r√(r2+r′2)dθ=2

∫	(π)/(2) −(π)/(2)

cosθdθ＝4
而S₂在xoy的投影为x²+y²≤2x，由第一类曲面积分的几何意义，得
A2＝

∫∫

x2+y2≤2x

作业帮用户 2017-09-30 举报

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问题解析

将所围立体的表面分成三个部分：锥面部分、柱面部分、底面部分，分别计算各个部分的面积即可．

名师点评

本题考点：

旋转体的体积及侧面积的计算．

考点点评：

此题考查第一类曲线积分、第一类曲面积分的综合应用，但关键是要将所围立体表面分成几个部分来考虑，难度系数比较大．

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