设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z．（1）求证：1z−1x＝12y；（2）比较3x，4y，6z的大小．

Question

设x，y，z∈R+，且3^x=4^y=6^z．
（1）求证：(1)/(z)−(1)/(x)＝(1)/(2y)；  
（2）比较3x，4y，6z的大小．

Answer 1

（1）证明：设3^x=4^y=6^z=t．∵x＞0，y＞0，z＞0，∴t＞1，lgt＞0，
则x＝log3t＝(lgt)/(lg3)，y＝log4t＝(lgt)/(lg4)，z＝log6t＝(lgt)/(lg6)．
∴(1)/(z)−(1)/(x)＝(lg6)/(lgt)−(lg3)/(lgt)＝(lg2)/(lgt)＝(lg4)/(2lgt)＝(1)/(2y)；
（2）∵3x＞0，4y＞0，且(3x)/(4y)＝(3(lgt)/(lg3))/(4(lgt)/(lg4))＝log3

4

64

＜1．
∴3x＜4y，同理4y＜6z，
故3x＜4y＜6z．