设a,b,c,x,y,z都是实数,若a^2+b^2+c^2=25,x^2+y^2+z^2=36,ax+by+cz=30,求(2004a+5b+8c)/(2004x+5y+8z)的值

Question

设a,b,c,x,y,z都是实数,若a^2+b^2+c^2=25,x^2+y^2+z^2=36,ax+by+cz=30,求(2004a+5b+8c)/(2004x+5y+8z)的值

Answer 1

难
通过观察,显然|a|、|b|、|c|不能同时等于|x|、|y|、|z|,即a=±x,b=±y,c=±z 不能同时成立.
那么,要求(2004a+5b+8c)/(2004x+5y+8z)的值,a与x之间,b与y之间,c与z之间必然有相同的代数关系.
假设a=kx,b=ky,c=kz,其中k≠0或者±1
代入已知条件：k^2x^2+k^2y^2+k^2z^2=25
即 k^2(x^2+y^2+z^2)=25
又因为 x^2+y^2+z^2=36
所以 k^2=25/36
k=±5/6
当k=5/6时,ax+by+cz=(5/6)(x^2+y^2+z^2)=(5/6)×36=30,符合条件
当k=-5/6时,ax+by+cz=(-5/6)(x^2+y^2+z^2)=(-5/6)×36=-30,不符合条件
所以原式(2004a+5b+8c)/(2004x+5y+8z)=(2004kx+5ky+8kz)/(2004x+5y+8z)=k=5/6
此题的这种解法适合天空题和选择题