已知f（x)在[0,1]范围内可导,f（0)=0,f（1）=1,证明存在不同的X1,X2在（0,1）范围内,使得1/f(X1)'+1/f(X2)'=2注意：等式中的函数为f（x）一阶导数.

Question

已知f（x)在[0,1]范围内可导,f（0)=0,f（1）=1,
证明存在不同的X1,X2在（0,1）范围内,使得1/f(X1)'+1/f(X2)'=2
注意：等式中的函数为f（x）一阶导数.

Answer 1

f(x)在〔0,1〕可导,则f(x)在〔0,1〕上连续,
则在(0,1)内必存在k,使得f(k) = [f(1)-f(0)]/2 = 1/2
f(x)在〔0,k〕上可导,则在（0,k）上必存在 X1,满足：
f'(X1) = [f(k)-f(0)]/(k-0)
即：1/f'(x1) = 2k
同样再在〔k,1〕上用中值定理,
f(x)在〔k,1〕上可导,则在（k,1）上必存在 X2,满足：
f'(X2) = [f(1)-f(k)]/(1-k)
即：1/f'(x2) = 2-2k
两个式子相加得出：1/f(X1)'+1/f(X2)'=2 ,且x1,x2分别取自于开区间（0,k）和(k,1),x1,x2肯定不同.
思路就是选一个特殊点划分（0,1）区间,再分别用中值定理.同一类型的题目还有很多变种.如果有类似题目要讨论,可站内m我.