设线性方程组x1+a1x2+a21x3＝a31x1+a2x2+a22x3＝a32x1+a3x2+a23x3＝a33x1+a4x2+a24x3＝a34；（1）证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则此线性方程组无解；（2）设a1=a3=k，a2=a4=-k（k≠0），且已知β1，β2是该方

Question

设线性方程组

x1+a1x2+

a

21

x3＝

a

31

x1+a2x2+

a

22

x3＝

a

32

x1+a3x2+

a

23

x3＝

a

33

x1+a4x2+

a

24

x3＝

a

34

；
（1）证明：若a₁，a₂，a₃，a₄两两不相等，则此线性方程组无解；
（2）设a₁=a₃=k，a₂=a₄=-k（k≠0），且已知β₁，β₂是该方程组的两个解，其中β₁=

−1

  1

  1

，β₂=

  1

  1

−1

；写出此方程组的通解．

Answer 1

（1）
如果a₁，a₂，a₃，a₄两两不相等，则：
（A|b）=

1

a1

a

21

a

31

1

a2

a

22

a

32

1

a3

a

23

a

33

1

a4

a

24

a

34

→

1

a1

a

21

a

31

0

a2−a1

a

22

−

a

21

a

32

−

a

31

0

a3−a1

a

23

−

a

21

a

33

−a

31

0

a4−a1

a

24

−a

21

a

34

−

a

31

→

1

a1

a

21

a

31

0

1

a2+a1

a

22

+a1a2+

a

21

0

1

a3+a1

a

23

+a1a3+

a

21

0

1

a4+a1

a

24

+a1a4+

a

21

 
→

作业帮用户 2017-09-23 举报

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问题解析

（1）非齐次方程组无解的条件是r（A|b）≠r（A）；（2）对于非齐次线性方程组Ax=b，其通解可以写成x=

1

a1

a

21

a

31

r

i＝1

kiξi+η 的形式，其中，ξ₁，…，ξ_r是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，η是线性方程组Ax=b的一个特解．

名师点评

本题考点：

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；非齐次方程组解的判定定理．

考点点评：

本题综合考查了非齐次线性方程组有解判别定理以及其通解的求法，计算过程中利用了非齐次线性方程组解的结构与性质．本题的关键在于判断系数矩阵A的秩与增广矩阵（A|b）的秩．

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