设f（x，y）在D：x2+y2≤1上有连续偏导数，且在边界上函数值为零，f（0，0）=2008．则limε→0+∬ε2≤x2+y2≤1xf′x+yf′yx2+y2dxdy=．

Question

设f（x，y）在D：x²+y²≤1上有连续偏导数，且在边界上函数值为零，f（0，0）=2008．则

lim

ε→0+

∬

ε2≤x2+y2≤1

(xf′x+yf′y)/(x2+y2)dxdy=______．

Answer 1

因为

∬

ɛ2≤x2+y2≤1

(xf′x+yf′y)/(x2+y2)dxdy 
=

∬

ɛ2≤x2+y2≤1

((∂)/(∂x)((x)/(x2+y2)f(x，y))+(∂)/(∂y)((y)/(x2+y2)f(x，y)))dxdy-

∬

ɛ2≤x2+y2≤1

((∂)/(∂x)((x)/(x2+y2))+(∂)/(∂y)((y)/(x2+y2)))f(x，y)dxdy
=I₁+I₂．
计算可得，I₂=

∬

ɛ2≤x2+y2≤1

0dxdy=0．
注意到f（x，y）在x²+y²=1上的函数值为零，
故利用格林公式以及积分中值定理可得可得，
I₁=

∮

x2+y2＝1

(x)/(x2+y2)f(x，y)dy−(y)/(x2+y2)f(x，y)dx-

∮

x2+y2＝ɛ2

(x)/(x2+y2)f(x，y)dy−(y)/(x2+y2)f(x，y)dx
=0-(1)/(ɛ2)

∮

x2+y2＝ɛ2

xf(x，y)dy−yf(x，y)dx
=-(1)/(ɛ2)

∬

x2+y2≤ɛ2

[(f+x

f

′ x

)+(f+y

f

′ y

)]dxdy
=-π(2f(ξ，η)+ξ

f

′ x

(ξ，η)+η

f

′ y

(ξ，η))，
其中ξ²+η²=1．
因此，

∬

ɛ2≤x2+y2≤1

(xf′x+yf′y)/(x2+y2)dxdy=-π(2f(ξ，η)+ξ

f

′ x

(ξ，η)+η

f

′ y

(ξ，η))，ξ²+η²=1．
当ɛ→0时，（ξ，η）→（0，0），
又因为f（x，y）在D：x²+y²≤1上有连续偏导数，
所以，

lim

ɛ→0

∬

ɛ2≤x2+y2≤1

(xf′x+yf′y)/(x2+y2)dxdy=-

lim

ɛ→0

π(2f(ξ，η)+ξ

f

′ x

(ξ，η)+η

f

′ y

(ξ，η))=-2πf（0，0）=-4016π．
故答案为：-4016π．