计算曲面积分I=∬x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中∑为锥面z=x2+y2介于z=0及z=h之间部分的下侧．

Question

计算曲面积分I=

∬

x2dydz+y²dzdx+z²dxdy，其中∑为锥面z=√(x2+y2)介于z=0及z=h之间部分的下侧．

Answer 1

补充平面S1： z=h， x2+y2≤h2，方向朝上，使其与曲面S构成闭曲面，
设它们所围成的区域为V，则由Gauss公式得
I=

∬

S+S1

x²dydz+y²dzdx+z²dxdy-

∬

S1

x²dydz+y²dzdx+z²dxdy
=

∫∫∫

V

((∂P)/(∂x)+(∂Q)/(∂y)+(∂R)/(∂z))dxdydz-

∫∫

S1

h2dxdy
=2

∫∫∫

V

(x+y+z)dxdydz-πh⁴
=2

∫∫∫

V

zdxdydz-πh4（由于被积函数x、y分别是关于x和y的奇函数，而积分立体区域是关于yoz面和zox面对称的）
=2

∫

h 0

zdz

∫∫

x2+y2≤z2

dxdy-πh⁴
=(π)/(2)h4-πh4=-(π)/(2)h4