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已知x,y,z∈Z,且满足x+y+z=3,x3+y3+z3=3,求x2+y2+z2所有可能的值组成的集合.
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已知x,y,z∈Z,且满足x+y+z=3,x3+y3+z3=3,求x2+y2+z2所有可能的值组成的集合.
▼优质解答
答案和解析
设x2+y2+z2=t,则
∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz),
即9=t+2(xy+yz+xz),
∴xy+yz+xz=
,
∵x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx),
∴3-3xyz=3(t-
),
∴xyz=
,
∵x,y,z∈Z,t>0,
∴t=1,3,
∴x2+y2+z2所有可能的值组成的集合为{1,3}.
∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz),
即9=t+2(xy+yz+xz),
∴xy+yz+xz=
9−t |
2 |
∵x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx),
∴3-3xyz=3(t-
9−t |
2 |
∴xyz=
11−3t |
2 |
∵x,y,z∈Z,t>0,
∴t=1,3,
∴x2+y2+z2所有可能的值组成的集合为{1,3}.
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