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设x,y,z为整数且x+y+z=3,x3+y3+z3=3,则x2+y2+z2=.
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设x,y,z为整数且x+y+z=3,x3+y3+z3=3,则x2+y2+z2=___.
▼优质解答
答案和解析
设x=1+a,y=1+b,z=1+c,∵x+y+z=3,
那么a+b+c=0.
代入x3+y3+z3=3,
可得:a3+b3+c3+3(a2+b2+c2)=0,
∵a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac),
可得:a3+b3+c3-3abc=0.
∴a2+b2+c2=-abc,且abc≤0.
∵x2+y2+z2=a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+3=3-abc,
①若a,b,c有一个为0,那么x2+y2+z2=3 (此时a=b=c=0显然满足条件).
②若a,b,c有两正一负,不妨设a≥b>0>c,
2(a2+ab+b2)=ab(a+b),
设ab=u,a+b=v.
那么2v2-2u=uv,化为2v2=u(v+2),
∴u=
=2(v-2)+
.
∵v=a+b>0,
∴v的可取值为2,6.
此时u为4,9.
∴a+b=2,ab=4或a+b=6,ab=9.
此时有整数解a=3,b=3,c=-6,
对应x=4,y=4,z=-5.
此时x2+y2+z2=57.
∴x2+y2+z2=57或3.
那么a+b+c=0.
代入x3+y3+z3=3,
可得:a3+b3+c3+3(a2+b2+c2)=0,
∵a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac),
可得:a3+b3+c3-3abc=0.
∴a2+b2+c2=-abc,且abc≤0.
∵x2+y2+z2=a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+3=3-abc,
①若a,b,c有一个为0,那么x2+y2+z2=3 (此时a=b=c=0显然满足条件).
②若a,b,c有两正一负,不妨设a≥b>0>c,
2(a2+ab+b2)=ab(a+b),
设ab=u,a+b=v.
那么2v2-2u=uv,化为2v2=u(v+2),
∴u=
2v2 |
v+2 |
8 |
v+2 |
∵v=a+b>0,
∴v的可取值为2,6.
此时u为4,9.
∴a+b=2,ab=4或a+b=6,ab=9.
此时有整数解a=3,b=3,c=-6,
对应x=4,y=4,z=-5.
此时x2+y2+z2=57.
∴x2+y2+z2=57或3.
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