若正数x，y满足15x-y=2，则x3+y3-x2-y2的最小值为．

Question

若正数x，y满足15x-y=2，则x³+y³-x²-y²的最小值为___．

Answer 1

由正数x，y满足15x-y=2，可得y=15x-2>0，则x>(2)/(15)，y>0，
又x³+y³-x²-y²=（x³-x²）+（y³-y²），
其中y³-y²+(1)/(4)y=y（y²-y+(1)/(4)）=y（y-(1)/(2)）²≥0，
即y³-y²≥-(1)/(4)y，
当且仅当y=(1)/(2)时取得等号，
设f（x）=x³-x²，f（x）的导数为f′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
当x=(3)/(2)时，f（x）的导数为(15)/(4)，
可得f（x）在x=(3)/(2)处的切线方程为y=(15)/(4)x-(9)/(2)．
由x³-x²≥(15)/(4)x-(9)/(2)⇔（x-(3)/(2)）²（x+2）≥0，
当x=(3)/(2)时，取得等号．
则x³+y³-x²-y²=（x³-x²）+（y³-y²）≥(15)/(4)x-(9)/(2)-(1)/(4)y≥1．
当且仅当x=(3)/(2)，y=(1)/(2)时，取得最小值1．
故答案为：1．