求正向简单闭曲线C使积分∮C（y3-y）dx-2x3dy最大，并求出最大值．

Question

求正向简单闭曲线C使积分

∮

C

（y³-y）dx-2x³dy最大，并求出最大值．

Answer 1

设C所围成的区域为D，则由格林公式，得

∮

C

（y³-y）dx-2x³dy=

∫∫

D

[1-(6x2+3y2)]dxdy
因此，要使得曲线积分取最大值，则要使得

∫∫

D

[1-(6x2+3y2)]dxdy达到最大
而6x²+3y²≥0，所以应尽量使积分区域D最大，同时满足被积函数是非负的
从而积分曲线应为：6x²+3y²=1，则

∮

C

（y³-y）dx-2x³dy=

∫∫

D

[1-(6x2+3y2)]dxdy（对称性）
=

∫∫

D

dxdy=π(1)/(√(6))•(1)/(√(3))=(√(2)π)/(6)