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函数f(x)=3|x+5|-2|x+3|,数列a1,a2,…,an…,满足an+1=f(an),n∈N*,若要使a1,a2,…an,…成等差数列.则a1的取值范围.
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函数f(x)=3|x+5|-2|x+3|,数列a1,a2,…,an…,满足an+1=f(an),n∈N*,若要使a1,a2,…an,…成等差数列.则a1的取值范围___.
▼优质解答
答案和解析
当x≥-3时,f(x)=3x+15-2x-6=x+9;
当-5≤x<-3时,f(x)=3x+15+2x+6=5x+21;
当x<-5时,f(x)=-3x-15+2x+6=-x-9.
当an≥-3时,an+1-an=9;
当-5≤an<-3时,an+1-an=4an+21≥4×(-5)+21=1;
当an<-5时,an+1-an=-2an-9>-2×(-5)-9=1.
∴对任意n∈N*,an+1-an≥1.
即an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.
又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an≥-3,
从而an+1=f(an)=an+9,由于{an}为等差数列,
因此公差d=9.
①当a1<-5时,则a2=f(a1)=-a1-9,
又a2=a1+d=a1+9,故-a1-9=a1+9,即a1=-9,从而a2=0,
当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-3,
∴an+1=f(an)=an+9,而a2=a1+9,故当a1=-9时,{an}为无穷等差数列,符合要求;
②若-5≤a1<-3,则a2=f(a1)=5a1+21,又a2=a1+d=a1+9,
∴5a1+21=a1+9,得a1=-3,应舍去;
③若a1≥-3,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+9,从而{an}为无穷等差数列,符合要求.
综上可知:a1的取值范围为{-9}∪[-3,+∞).
故答案为:{-9}∪[-3,+∞).
当-5≤x<-3时,f(x)=3x+15+2x+6=5x+21;
当x<-5时,f(x)=-3x-15+2x+6=-x-9.
当an≥-3时,an+1-an=9;
当-5≤an<-3时,an+1-an=4an+21≥4×(-5)+21=1;
当an<-5时,an+1-an=-2an-9>-2×(-5)-9=1.
∴对任意n∈N*,an+1-an≥1.
即an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.
又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an≥-3,
从而an+1=f(an)=an+9,由于{an}为等差数列,
因此公差d=9.
①当a1<-5时,则a2=f(a1)=-a1-9,
又a2=a1+d=a1+9,故-a1-9=a1+9,即a1=-9,从而a2=0,
当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-3,
∴an+1=f(an)=an+9,而a2=a1+9,故当a1=-9时,{an}为无穷等差数列,符合要求;
②若-5≤a1<-3,则a2=f(a1)=5a1+21,又a2=a1+d=a1+9,
∴5a1+21=a1+9,得a1=-3,应舍去;
③若a1≥-3,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+9,从而{an}为无穷等差数列,符合要求.
综上可知:a1的取值范围为{-9}∪[-3,+∞).
故答案为:{-9}∪[-3,+∞).
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