已知正项等比数列{an}满足：a6=a5+2a4，若存在两项am，an使得aman=2a1，则1m+4n的最小值为9494．

Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₆=a₅+2a₄，若存在两项a_m，a_n使得√(aman)=2a₁，则(1)/(m)+(4)/(n)的最小值为

(9)/(4)

(9)/(4)

．

Answer 1

设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，
∵a₆=a₅+2a₄，∴a4•q2＝a4•q+2a4，化为q²=q+2，解得q=2．
∴an＝a1•2n−1．
∵存在两项a_m，a_n使得√(aman)=2a₁，∴√(a21•2m−1•2n−1)＝2a1，化为2^m+n-2=2²，即m+n=4．
∴(1)/(m)+(4)/(n)=(1)/(4)(m+n)((1)/(m)+(4)/(n))=(1)/(4)(5+(n)/(m)+(4m)/(n))≥(1)/(4)(5+2√((n)/(m)•(4m)/(n)))=(9)/(4)，当且仅当n=3，m=1时，取得最小值．
故答案为：(9)/(4)．