若x3+x6的展开式可以写成a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a6（x+1）6，则a2=．

Question

若x³+x⁶的展开式可以写成a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₆（x+1）⁶，则a₂=___．

Answer 1

解法一：由于x³+x⁶=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₆（x+1）⁶=a₀+a₁（x+1）+a₂（x²+2x+1）+a₃（x³+3x²+3x+1）+a₄（x⁴+4x³+6x²+4x+1）+a₅（x⁵+5x⁴+10x³+10x²+5x+1）+a₆（x⁶+6x⁵+15x⁴+20x³+15x²+6x+1）．
可知：a₆=1，
又a₄+5a₅+15a₆=0，a₅+6a₆=0，
a₃+4a₄+10a₅+20a₆=1，
a₂+3a₃+6a₄+10a₅+15a₆=0，
解得a₅=-6，a₄=15，a₃=-19，a₂=12．
解法二：x³+x⁶=[（x+1）-1]³+[（x+1）-1]⁶，
其中a₂（x+1）²只是[（x+1）-1]⁶展开式中（x+1）²的系数和[（x+1）-1]³的系数的和，
∴a₂=(-1)4

∁

4 6

+

∁

2 3

(-1)1
=15-3
=12．
故答案为：12．