如图：边长为1的正△A1B1C1的中心为O，将正△A1B1C1绕中心O旋转到△A2B2C2，使得A2B2⊥B1C1．则两三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为274-934274-934．

Question

如图：边长为1的正△A₁B₁C₁的中心为O，将正△A₁B₁C₁绕中心O旋转到△A₂B₂C₂，使得A₂B₂⊥B₁C₁．则两三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为

(27)/(4)-(9√(3))/(4)

(27)/(4)-(9√(3))/(4)

．

Answer 1

连接OB₁、OC₁、OA₂、OB₂，
∵O为等边三角形的中心，
∴∠A₂OB₂=∠B₁OC₁，
∴都减去∠B₁OB₂得：∠A₂ON=∠C₁OM，
在△A₂ON和△C₁OM中
∵

∠A2ON＝∠C1OM

OA2＝OC1

∠OA2N＝∠OC1M＝30°

，
∴△A₂ON≌△C₁OM，
∴ON=OM，
∵OB₂=OB₁，
∴B₁N=B₂M，
设B₁N=B₂M=x，
∵∠OB₁B=∠OB₁C=30°=∠B₁BN，
∴BN=x，
∴CN=(1)/(2)x，B₁C=(√(3))/(2)x，BB₁=2B₁C=√(3)x，
同理CD=BC=x+(1)/(2)x=(3)/(2)x，C₁D=BB₁=√(3)x
依题意B₁C₁=B₁C+CD+DC₁=1，

作业帮用户 2016-11-21 举报

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问题解析

连接OB₁、OC₁、OA₂、OB₂，根据O为等边三角形的中心，得出∠A₂OB₂=∠B₁OC₁=120°，求出∠A₂ON=∠C₁OM，根据ASA证△A₂ON≌△C₁OM，推出ON=OM，推出B₁N=B₂M，设B₁N=B₂M=x，根据∠OB₁B=∠OB₁C=30°=∠B₁BN，求出BN=x，推出CN=

√(3)(1)/(2)x，B₁C=(√(3))/(2)x，BB₁=2B₁C=√(3)x，同理CD=BC=x+(1)/(2)x=(3)/(2)x，C₁D=BB₁=√(3)x，依题意列方程B₁C+CD+DC₁=1，求x的值，根据S_{六边形ABCDEF}=S_△A2B2C2-3S_△B2CD求解．

名师点评

本题考点：

旋转的性质；等边三角形的性质．

考点点评：

本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质．关键是根据条件，得出特殊三角形，全等三角形，利用“割补法”求面积．

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