如图，在几何体ABC-A1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，E为AB1中点，AB=AA1=BB1=2CC1．（Ⅰ）求证；CE∥平面A1B1C1，（Ⅱ）求证：平面AB1C1⊥平面A1BC．

Question

如图，在几何体ABC-A₁B₁C₁中，点A₁，B₁，C₁在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，E为AB₁中点，AB=AA₁=BB₁=2CC₁．
（Ⅰ）求证；CE∥平面A₁B₁C₁，
（Ⅱ）求证：平面AB₁C₁⊥平面A₁BC．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵点A₁，B₁，C₁在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，
∴AA₁∥BB₁∥CC₁，
取A₁B₁中点F，连接EF，FC，则EF∥(1)/(2)A₁A，EF=(1)/(2)A₁A
∵AA₁=4，CC₁=2，∴CC₁∥(1)/(2)A₁A，CC₁=(1)/(2)A₁A，
∴CC₁∥EF，CC₁=EF，
∴四边形EFC₁C为平行四边形，
∴CE∥C₁F，
∵CE⊄平面A₁B₁C₁，C₁F⊂平面A₁B₁C₁，
∴CE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥BC，
∵AB⊥BC，
∵AB∩BB₁=B，
∴BC⊥平面AA₁BB₁，
∵AB₁⊂平面AA₁BB₁，
∴BC⊥AB₁，
∵AA₁=BB₁=AB，AA₁∥BB₁，
∴四边形AA₁BB₁为正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵A₁B∩BC=B，
∴AB₁⊥平面A₁BC，
∴平面AB₁C₁⊥平面A₁BC．