如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作BA1⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；…如此下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面

Question

如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作BA₁⊥AC，过A₁作A₁B₁⊥BC，得阴影Rt△A₁B₁B；再过B₁作B₁A₂⊥AC，过A₂作A₂B₂⊥BC，得阴影Rt△A₂B₂B₁；…如此下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为（　　）
A. (16)/(25)
B. (96)/(25)
C. (51)/(14)
D. (96)/(41)

Answer 1

∵A₁B₁∥AB，
∴Rt△ABA₁∽△BA₁B₁，同理可证：Rt△A₁B₁A₂∽Rt△B₁A₂B₂，…；
即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似，
在Rt△ABC中，BA₁⊥AC，
由S=(1)/(2)AB•BC=(1)/(2)AC•BA₁，故BA₁=(12)/(5)，
∴AB：BA₁=3：(12)/(5)=5：4，
∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AB²：BA₁²=25：16，
故S_阴影=(16)/(41)S_△ABC=(96)/(41)．
故选D．