如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形，AA1⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=B1F=2FB．（1）证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；（2）若AA1=3，求点E到平面ACF的距离．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的等边三角形，AA₁⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC₁，BB₁上的点，且EC=B₁F=2FB．

（1）证明：平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）若AA₁=3，求点E到平面ACF的距离．

Answer 1

证明：（1）取AC中点M，连接BM，则BM⊥AC，因为AA₁⊥底面ABC，
所以侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，所以BM⊥平面ACC₁A₁．
取AE中点N，连接MN，FN，则MN∥EC，且MN=(1)/(2)EC，
又因为BB₁∥CC₁，EC=2FB，所以FB∥EC且FB=(1)/(2)EC，
所以MN∥FB且MN=FB，所以四边形BMNF是平行四边形，
所以FN∥BM，所以FN⊥平面ACC₁A₁．又FN⊂平面AEF，
所以平面AEF⊥平面ACC₁A₁． …（6分）
（2）由（1）可知，FN⊥平面ACE，连接MF，由AC⊥平面BMNF得AC⊥MF，
因为AA₁=3，依题意得MF=√((√(3))2+12)=2，所以S△ACF=(1)/(2)×2×2=2，
设点E到平面ACF的距离为h，由V_E-ACF=V_F-ACE，得(1)/(3)S△ACF•h=(1)/(3)S△ACE•FN，
即2h=(1)/(2)×2×2×√(3)，所以h=√(3)
故点E到平面ACF的距离为√(3)．    …（12分）