设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+k（k为实数），{bn}为等差数列，且2b4=a3．（1）求a3与k的值及{an}的通项公式；（2）设b4是b2和b10的等比中项，且数列{bn}的公差d≠0，求{bn}的通项公式．

Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ+k（k为实数），{b_n}为等差数列，且2b₄=a₃．
（1）求a₃与k的值及{a_n}的通项公式；
（2）设b₄是b₂和b₁₀的等比中项，且数列{b_n}的公差d≠0，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵S_n=3ⁿ+k，
∴S_n-1=3^n-1+k，
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，
∴a₃=2×3^3-1=18，
∴S₁=3¹+k=a₁=2，
∴k=-1，
（2）∵2b₄=a₃=18，
∴b₄=9，
∴b₁+3d=9
∵b₄是b₂和b₁₀的等比中项，
∴b₄²=（b₄-2d）（b₄+6d），
∴81=（9-2d）（9+6d），
∴d=3，d=0（舍去），
∴b₁=0，
∴b_n=0+3（n-1）=3n-3