数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥1）．记bn＝1an−12(n≥1)．（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．

Question

数列{a_n}满足a₁=1且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）．记bn＝(1)/(an−(1)/(2))(n≥1)．
（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式及数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

法一：
（I）a₁=1，故b1＝(1)/(1−(1)/(2))＝2；a2＝(7)/(8)，
故b2＝(1)/((7)/(8)−(1)/(2))＝(8)/(3)；a3＝(3)/(4)，
故b3＝(1)/((3)/(4)−(1)/(2))＝4；a4＝(13)/(20)，
故b4＝(20)/(3)．

（II）因(b1−(4)/(3))(b3−(4)/(3))＝(2)/(3)×(8)/(3)＝((4)/(3))2，(b2−(4)/(3))2＝((4)/(3))2，(b1−(4)/(3))(b3−(4)/(3))＝(b2−(4)/(3))2
故猜想{bn−(4)/(3)}是首项为(2)/(3)，公比q=2的等比数列．
因a_n≠2，（否则将a_n=2代入递推公式会导致矛盾）故an+1＝(5+2a)/(16−8an)(n≥1)．
因bn+1−(4)/(3)＝(1)/(an+1−(1)/(2))−(4)/(3)＝(16−8an)/(6an−3)−(4)/(3)＝(20−16an)/(6an−3)，
2(bn−(4)/(3))＝(2)/(an−(1)/(2))−(8)/(3)＝(20−16an)/(6an−3)＝bn+1−(4)/(3)，b1−(4)/(3)≠0，
故|bn−(4)/(3)|确是公比为q=2的等比数列．
因b1−(4)/(3)＝(2)/(3)，故bn−(4)/(3)＝(1)/(3)•2n，bn＝(1)/(3)•2n+(4)/(3)(n≥1)，
由bn＝(1)/(an−(1)/(2))得anbn＝(1)/(2)bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=(1)/(2)(b1+b2++bn)+n=((1)/(3)(1−2n))/(1−2)+(5)/(3)n=(1)/(3)(2n+5n−1)

法二：
（Ⅰ）由bn＝(1)/(an−(1)/(2))得an＝(1)/(bn)+(1)/(2)，代入递推关系8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0，
整理得(4)/(bn+1bn)−(6)/(bn+1)+(3)/(bn)＝0，即bn+1＝2bn−(4)/(3)，
由a₁=1，有b₁=2，所以b2＝(8)/(3)，b3＝4，b4＝(20)/(3)．

（Ⅱ）由bn+1＝2bn−(4)/(3)，bn+1−(4)/(3)＝2(bn−(4)/(3))，b1−(4)/(3)＝(2)/(3)≠0，
所以{bn−(4)/(3)}是首项为(2)/(3)，公比q=2的等比数列，
故bn−(4)/(3)＝(1)/(3)•2n，即bn＝(1)/(3)•2n+(4)/(3)(n≥1)．
由bn＝(1)/(an−(1)/(2))，得anbn＝(1)/(2)bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=(1)/(2)(b1+b2++bn)+n=((1)/(3)(1−2n))/(1−2)+(5)/(3)n=(1)/(3)(2n+5n−1)．

法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）b2−b1＝(2)/(3)，b3−b2＝(4)/(3)，b4−b3＝(8)/(3)，(2)/(3)×(8)/(3)＝((4)/(3))2猜想{b_n+1-b_n}是首项为(2)/(3)，
公比q=2的等比数列，bn+1−bn＝(1)/(3)•2n
又因a_n≠2，故an+1＝(5+2an)/(16−8an)(n≥1)．
因此bn+1−bn＝(1)/(an+1−(1)/(2))−(1)/(an−(1)/(2))＝(1)/((5+2an)/(16−8an)−(1)/(2))−(2)/(2an−1)=
(16−8an)/(6an−3)−(6)/(6an−3)＝(10−8an)/(6an−3)；
bn+2−bn+1＝(1)/(an+2−(1)/(2))−(1)/(an+1−(1)/(2))＝(16−8an+1)/(6an+1−3)−(16−8an)/(6an−3)=(36−24an)/(6an−3)−(16−8an)/(6an−3)＝(20−16an)/(6an−3)＝2(bn+1−bn)．
因b2−b1＝(2)/(3)≠0，{bn+1−bn}是公比q=2的等比数列，bn+1−bn＝(1)/(3)•2n，
从而b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=(1)/(3)(2n−1+2n−2++21)+2
=(1)/(3)(2n−2)+2
=(1)/(3)•2n+(4)/(3)(n≥1)．
由bn＝(1)/(an−(1)/(2))得anbn＝(1)/(2)bn+1，
故S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=(1)/(2)(b1+b2++bn)+n=((1)/(3)(1−2n))/(1−2)+(5)/(3)n=(1)/(3)(2n+5n−1)．