设整数a，b，c与实数r满足：ar2+br+c=0，ac≠0，证明：r2+c2是无理数．

Question

设整数a，b，c与实数r满足：ar²+br+c=0，ac≠0，证明：√(r2+c2)是无理数．

Answer 1

证明：由条件得，b²-4ac≥0，设r=(-b+m)/(2a)，其中m²=b²-4ac，
∵ac≠0，∴m≠±b；
假设√(r2+c2)是有理数q，记s=2aq∈Q，
则s²=4a²q²=4a²（r²+c²）=（m-b）²+4a²c²>0，
若m∈Z，则s∈Z，
而4s²=4（m-b）²+（4ac）²=4（m-b）²+（b²-m²）²=（m-b）²（4+（m+b）²），
故4+（m+b）²是平方数，
故m+b=0，与m≠±b相矛盾；
故m∉Z，不妨设m=(p)/(q)（p与q互质）；
m²=(p2)/(q2)∉Z，而b²-4ac∈Z，
故m²=b²-4ac不成立；故矛盾；
故m是无理数，
又由s²=4a²q²=4a²（r²+c²）=（m-b）²+4a²c²>0知，
2mb=m²+b²+4a²c²-s²∈Q，
故b=0；
故s²+1=m²+4a²c²+1=（2ac-1）²，
故s=0，故与s≠0矛盾；
故√(r2+c2)是无理数．