早教吧作业答案频道 -->数学-->
设整数a,b,c与实数r满足:ar2+br+c=0,ac≠0,证明:r2+c2是无理数.
题目详情
设整数a,b,c与实数r满足:ar2+br+c=0,ac≠0,证明:
是无理数.
r2+c2 |
▼优质解答
答案和解析
证明:由条件得,b2-4ac≥0,设r=
,其中m2=b2-4ac,
∵ac≠0,∴m≠±b;
假设
是有理数q,记s=2aq∈Q,
则s2=4a2q2=4a2(r2+c2)=(m-b)2+4a2c2>0,
若m∈Z,则s∈Z,
而4s2=4(m-b)2+(4ac)2=4(m-b)2+(b2-m2)2=(m-b)2(4+(m+b)2),
故4+(m+b)2是平方数,
故m+b=0,与m≠±b相矛盾;
故m∉Z,不妨设m=
(p与q互质);
m2=
∉Z,而b2-4ac∈Z,
故m2=b2-4ac不成立;故矛盾;
故m是无理数,
又由s2=4a2q2=4a2(r2+c2)=(m-b)2+4a2c2>0知,
2mb=m2+b2+4a2c2-s2∈Q,
故b=0;
故s2+1=m2+4a2c2+1=(2ac-1)2,
故s=0,故与s≠0矛盾;
故
是无理数.
-b+m |
2a |
∵ac≠0,∴m≠±b;
假设
r2+c2 |
则s2=4a2q2=4a2(r2+c2)=(m-b)2+4a2c2>0,
若m∈Z,则s∈Z,
而4s2=4(m-b)2+(4ac)2=4(m-b)2+(b2-m2)2=(m-b)2(4+(m+b)2),
故4+(m+b)2是平方数,
故m+b=0,与m≠±b相矛盾;
故m∉Z,不妨设m=
p |
q |
m2=
p2 |
q2 |
故m2=b2-4ac不成立;故矛盾;
故m是无理数,
又由s2=4a2q2=4a2(r2+c2)=(m-b)2+4a2c2>0知,
2mb=m2+b2+4a2c2-s2∈Q,
故b=0;
故s2+1=m2+4a2c2+1=(2ac-1)2,
故s=0,故与s≠0矛盾;
故
r2+c2 |
看了设整数a,b,c与实数r满足:...的网友还看了以下:
设a为三阶矩阵,有特征值λ1,λ2,λ3,其对应的特征向量分别是ξ1=[1,0,0],ξ2=[1, 2020-04-13 …
设a为三阶矩阵,有特征值λ1,λ2,λ3,其对应的特征向量分别是ξ1=[1,0,0],ξ2=[1, 2020-04-13 …
还是lingo问题road(country,country):length,xie,c;endse 2020-05-13 …
(2011•上海模拟)已知函数f(x)=x|x-2m|,常数m∈R.(1)设m=0.求证:函数f( 2020-05-13 …
ansys直接建立有限元模型问题finish/clear/prep7n,1,0,0,0n,2,0, 2020-05-17 …
设函数f(x)=g(x)sin1/x(x不得于0);0(x=0)高数题设函数f(x)=g(x)si 2020-07-16 …
设f'(x)=arctan[(x-1)^2],f(0)=0,求∫(0,1)f(x)dx,其中0是下 2020-07-22 …
设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=11,设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=1,则x( 2020-10-31 …
设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=11,设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=1,则x( 2020-10-31 …
谁会第3种啊求证1=0.999999.证明1:设0.999999.=X然后两边同时乘以10得10X= 2020-11-24 …