△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求asin(30°-C)b-c的值．

Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²+c²-a²+bc=0．
（1）求角A的大小；
（2）若a=√(3)，求bc的最大值；
（3）求(asin(30°-C))/(b-c)的值．

Answer 1

（1）∵△ABC中，b²+c²=a²-bc
∴根据余弦定理，得cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=-(1)/(2)（2分）
∵A∈（0，π），∴A=(2π)/(3)．（4分）
（2）由a=√(3)，得b²+c²=3-bc，（6分）
又∵b²+c²≥2bc（当且仅当c=b时取等号），（8分）
∴3-bc≥2bc，可得当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1．（10分）
（3）由正弦定理，得
(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)=2R，
∴(asin(30°-C))/(b-c)=(2RsinAsin(30°-C))/(2RsinB-2RsinC)（11分）
=(sinAsin(30°-C))/(sinB-sinC)=((√(3))/(2)((1)/(2)cosC-(√(3))/(2)sinC))/(sin(60°-C)-sinC)（13分）
∵sin（60°-C）-sinC=(√(3))/(2)cosC-(1)/(2)sinC-sinC=(√(3))/(2)cosC-(3)/(2)sinC
∴(asin(30°-C))/(b-c)=((√(3))/(2)((1)/(2)cosC-(√(3))/(2)sinC))/(√(3)((1)/(2)cosC-(√(3))/(2)sinC))=(1)/(2)．（15分）