（1）计算：C33+C43+C53+…+C103（2）证明：Ank+kAnk-1=An+1k．

Question

（1）计算：C ₃ ³ +C ₄ ³ +C ₅ ³ +…+C ₁₀ ³
（2）证明：A _n ^k +kA _n ^k-1 =A _n+1 ^k ．

Answer 1

（1）∵C _m ⁿ +C _m-1 ⁿ =C _m ⁿ⁺¹ ，
∴原式=C ₄ ⁴ +C ₄ ³ +C ₅ ³ +…+C ₁₀ ³
=C ₅ ⁴ +C ₅ ³ +C ₆ ³ +…+C ₁₀ ³
=C ₆ ⁴ +C ₆ ³ +C ₇ ³ +…+C ₁₀ ³
=…
=C ₁₀ ⁴ +C ₁₀ ³
=C ₁₁ ⁴
=330
（2）证明：∵

A

nm

=(n!)/((n-m)!)
∴左边= (n!)/((n-k)!) +k (n!)/((n-k+1)!)
= (n![(n-k+1)+k])/((n-k+1)!)
= ((n+1)!)/((n-k+1)!)
=A _n+1 ^k =右边