在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：AD1∥平面DBC1；（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的余弦值．

Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AD₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁
∴ABC₁D₁是平行四边形，则BC₁∥AD₁．
BC₁⊂平面DBC₁，AD₁⊄平面DBC₁，
∴AD₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）连接AC，由正方体的几何性质可得AC即为AE在底面ABCD上的射影，
则∠EAC即为AE与平面ABCD所成角
在Rt△AEC中，EC⊥AC，AC＝√(2)a，EC＝(a)/(2)⇒AE＝(3)/(2)a
则cos∠EAC＝(AC)/(AE)＝(2)/(3)√(2)
所以AE与平面ABCD所成角的余弦值为(2)/(3)√(2)