如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别为A1B1，B1C1，C1D，D1A1的中点，求证：（1）E，F，B，D，四点共面；（2）面MAN∥面EFDB．

Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，E，F，N分别为A₁B₁，B₁C₁，C₁D，D₁A₁的中点，求证：

（1）E，F，B，D，四点共面；
（2）面MAN∥面EFDB．

Answer 1

证明：（1）∵E，E分别是B₁C₁，C₁D₁的中点，
∴EF∥B₁D₁，
∵B₁D₁∥BD，∴EF∥BD，
∴E，F，B，D，四点共面．
（2）∵M，N分别是A₁B₁，D₁A₁的中点，
∴MN∥B₁D₁，
∵EF∥B₁D₁，∴MN∥EF，
∵F，N分别是D₁C₁、A₁B₁的中点，
∴NF

∥

.

A₁D₁，
∵A1D1

∥

.

AC，∴NF

∥

.

AC，
∴四边形NFCA是平行四边形，
∴AN∥CF，
∵MN∩AN=N，EF∩DF=F，
∴面MAN∥面EFDB．