如图，已知点P是抛物线y=14x2+1上的任意一点，记点P到X轴距离为d1，点P与点F（0，2）的距离为d2（1）证明d1=d2；（2）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点），试判断以PQ为直径的圆与x轴的

Question

如图，已知点P是抛物线y=(1)/(4)x2+1上的任意一点，记点P到X轴距离为d₁，点P与点F（0，2）的距离为d₂
（1）证明d₁=d₂；
（2）若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点），试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）设P为抛物线上一点，
故P的坐标为（t，(1)/(4)t²+1）；
则P到X轴距离d₁=(1)/(4)t²+1，
P到点F（0，2）的距离为d₂为√(t2+((1)/(4)t2−1)2)；
化简可得d₁=d₂．

（2）相切：
设Q到x轴的距离为m，到F的距离为n，
根据（1）的结论，有m=n，
过PQ的中点作x的垂线，设其长度为h，
易得h=(1)/(2)（m+d₁），
同时有PQ=（n+d₂）=（m+d₁），
为h的2倍，
故以PQ为直径的圆与x轴相切．