正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN.以下结论：①AA1⊥MN；②MN∥平面A1B1C1D1；③MN与A1C1异面；④点B1到面BDC1的距离为33；⑤若点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与

Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点M、N分别在线段AB₁、BC₁上，且AM=BN.以下结论：
①AA₁⊥MN；
②MN∥平面A₁B₁C₁D₁；
③MN与A₁C₁异面；
④点B₁到面BDC₁的距离为(√(3))/(3)；
⑤若点M、N分别为线段AB₁、BC₁的中点，则由线MN与AB₁确定的平面在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 上的截面为等边三角形.
其中有可能成立的结论为 （　　）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2

Answer 1

①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM=BN，∴NE=MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA₁⊥面AC，EF⊂面AC，∴AA₁⊥EF，∴AA₁⊥MN，故①正确；
②由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A₁B₁C₁D₁，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，故②正确；
③MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A₁C₁异面，FE与AC平行时，则平行，故③可能成立；
④设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为1，点B₁到面BDC₁的距离为h，根据V_B1-BDC1=V_D-BB1C1，可得(1)/(3)×(√(3))/(4)×(√(2))2×h=(1)/(3)×(1)/(2)×1×1×1，∴h=(√(3))/(3)，故④正确；
⑤点M、N分别为线段AB₁、BC₁的中点，则由线MN与AB₁确定的平面在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 上的截面为△AB₁N，为等腰三角形，故⑤不正确．
综上可知，①②③④
故选B．