已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）面BDC1∥面AB1D1．

Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）面BDC₁∥面AB₁D₁．

Answer 1

证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁
连接AO₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体
∴A₁ACC₁是平行四边形
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO
∴AOC₁O₁是平行四边形
∴C₁O∥AO₁，AO₁⊂面AB₁D₁，C₁O⊄面AB₁D₁
∴C₁O∥面AB₁D₁；
（2）证明：

AB∥DC∥D′C′

AB＝DC＝D′C′

⇒ABC′D′是平行四边形，
∴⇒

BC′∥AD′

BC′⊄平面AB′D′

AD′⊂平面AB′D′

BC′∥平面AB′D′

⇒同理，C′D∥平面AB′D′

BC′∩C′D＝C′

⇒平面C′DB∥平面AB′D′．