（2014•河东区一模）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G．（Ⅰ）求证：EG∥D1F；（Ⅱ）求二面角C1-D1E-F的余弦值；（Ⅲ）求正方

Question

（2014•河东区一模）如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F分别是A₁B₁、CC₁的中点，过D₁、E、F作平面D₁EGF交BB₁于G．
（Ⅰ）求证：EG∥D₁F；
（Ⅱ）求二面角C₁-D₁E-F的余弦值；
（Ⅲ）求正方体被平面D₁EGF所截得的几何体ABGEA₁-DCFD₁的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁
平面D₁EGF∩平面ABB₁A₁=EG，平面D₁EGF∩平面DCC₁D₁=D₁F，
∴EG∥D₁F．（3分）
（Ⅱ）如图，以D为原点分别以DA、DC、DD₁为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有
D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1），
∴

D1E

=（2，1，0），

D1F

=（0，2，-1）
设平面D₁EGF的法向量为

n

=（x，y，z）
则由

n

•

D1E

=0，和

n

•

D1F

=0，得

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问题解析

（I）根据正方体的几何特征及面面平行的性质定理，易证得EG∥D₁F；
（Ⅱ）以D为原点分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面D₁EGF的法向量和平面ABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案；
（III）几何体ABGEA₁-DCFD₁由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁减去一个棱台D₁FC₁-EGB₁得到，分别求出正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积和棱台D₁FC₁-EGB₁的体积，即可得到答案．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；组合几何体的面积、体积问题．

考点点评：

本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，组合体的体积，线线平行的判定，其中（1）的关键是熟练掌握线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，（2）的关系是求出平面D₁EGF的法向量和平面ABCD的法向量，（3）的关键是分析出几何体ABGEA₁-DCFD₁由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁减去一个棱台D₁FC₁-EGB₁得到．

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