设a，b，c，d为正实数，且满足a2+b2+c2+d2=4．证明：a+b+c+d≥23（ab+bc+cd+da+ac+bd）．

Question

设a，b，c，d为正实数，且满足a²+b²+c²+d²=4．证明：a+b+c+d≥(2)/(3)（ab+bc+cd+da+ac+bd）．

Answer 1

证明：（a+b+c+d）²=a²+b²+c²+d²+2（ab+bc+cd+da+ac+bd），
设x=a+b+c+d，y=ab+bc+cd+da+ac+bd，因为a²+b²+c²+d²=4，
所以，x²=4+2y，解得y=(1)/(2)（x²-4），
作差，A=（a+b+c+d）-(2)/(3)（ab+bc+cd+da+ac+bd）
=x-(2)/(3)•(1)/(2)（x²-4）
=-(1)/(3)（x-(3)/(2)）²+(25)/(12)
根据柯西不等式：a+b+c+d≤√(4(a2+b2+c2+d2))=4，即x∈（0，4]，
所以，当x=4时，A_min=-(1)/(3)（4-(3)/(2)）²+(25)/(12)=0，
因此，A≥0恒成立，
故a+b+c+d≥(2)/(3)（ab+bc+cd+da+ac+bd）．