（2009•湖州）如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，D

Question

（2009•湖州）如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则S_n=

(1)/((n+1)2)

(1)/((n+1)2)

S_△ABC（用含n的代数式表示）．

Answer 1

易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高，面积相等，以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=(1)/(2)BC，CE₁=(1)/(2)AC，S₁=(1)/(22)S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂为其重心，
∴D₂E₁=(1)/(3)BE₁，
∴D₂E₂=(1)/(3)BC，CE₂=(1)/(3)AC，S₂=(1)/(32)S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：(2)/(3)D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=(3)/(4)D₂E₂=(3)/(4)×(1)/(3)BC=(1)/(4)BC，CE₃=(3)/(4)CE₂=(3)/(4)×(1)/(3)AC=(1)/(4)AC，S₃=(1)/(42)S_△ABC…；
∴S_n=(1)/((n+1)2)S_△ABC．