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已知λ1>0,λ2>0,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2,则a与e1不共线,a与e2不共线.为什么?a,e1,e2都是向量
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已知λ1>0,λ2>0,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2,则a与e1不共线,a与e2不共线.为什么?
a,e1,e2都是向量
a,e1,e2都是向量
▼优质解答
答案和解析
反证法：
若a与e1或a与e2共线.
则有a=ke1或a=ke2.
从而有λ1e1+λ2e2=ke1
整理得e1=（k-λ1）/λ2×e2.
若k=λ1,则e1=0,向量不等于数量故不存在.
若k≠λ1,则e1与e2共线,又e1与e2为一组基底不共线,矛盾.
若a=ke2解法同上.
综上,a与e1、e2都不共线.
若a与e1或a与e2共线.
则有a=ke1或a=ke2.
从而有λ1e1+λ2e2=ke1
整理得e1=（k-λ1）/λ2×e2.
若k=λ1,则e1=0,向量不等于数量故不存在.
若k≠λ1,则e1与e2共线,又e1与e2为一组基底不共线,矛盾.
若a=ke2解法同上.
综上,a与e1、e2都不共线.
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