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线代作业,证:α1,α2,.,αn线性相关,则α1+α2,α2+α3,.,αn+α1线性相关
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线代作业,证:α1,α2,.,αn线性相关,则α1+α2,α2+α3,.,αn+α1线性相关
▼优质解答
答案和解析
因为 α1,α2,.,αn线性相关 所以 存在不全为零的数 x1,x2 ,x3...使
x1*α1+x2*α2+.xn*αn=0
假设存在不全为0的数 y1,y2.yn 使y1*(α1+α2)+y2*(α2+α3)...yn*(αn+α1)=0
则 (y1+yn)*a1+(y2+y3)*α2+.+(y(n-1)+yn)*αn=0
所以只要y1+yn=x1,
y1+y2=x2,
y2+y3=x3,
.
y(n-1)+yn=xn,
所以只要 n个方程 n个未知数,若y1,y2.yn 全为0,则x1,x2 ,x3...全为零,又因为x1,x2 ,x3...不全为零,所以必然存在不全为零的y1,y2.yn ,所以α1+α2,α2+α3,.,αn+α1线性相关
以
x1*α1+x2*α2+.xn*αn=0
假设存在不全为0的数 y1,y2.yn 使y1*(α1+α2)+y2*(α2+α3)...yn*(αn+α1)=0
则 (y1+yn)*a1+(y2+y3)*α2+.+(y(n-1)+yn)*αn=0
所以只要y1+yn=x1,
y1+y2=x2,
y2+y3=x3,
.
y(n-1)+yn=xn,
所以只要 n个方程 n个未知数,若y1,y2.yn 全为0,则x1,x2 ,x3...全为零,又因为x1,x2 ,x3...不全为零,所以必然存在不全为零的y1,y2.yn ,所以α1+α2,α2+α3,.,αn+α1线性相关
以
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