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给定双曲线x^2-y^2/2=1,过点B(1,1)能否作直线l与所给曲线交于Q1和Q2两点,且点B(1,1)是线段Q1Q2的中点?这样的直线l如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
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给定双曲线x^2-y^2/2=1,过点B(1,1)能否作直线l与所给曲线交于Q1和Q2两点,且点B(1,1)是线段Q1Q2的中点?这样的直线l如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
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答案和解析
1)设直线方程为y-1=k(x-2),其中k为斜率.
分情况讨论,当k不存在时,即直线为x=2时,中点为(2,0).
当k存在时,将直线方程代入双曲线得,x^2-[k(x-2)+1]^2/2=1,再利用韦达定理可求出线段中点的横坐标关于k的表达式,再代入y-1=k(x-2)可求得中点纵坐标关于k的表达式.由此可得中点轨迹的参数方程.此方法相比其他方法无需分情况讨论(一般分情况讨论的话分成两种情况,其一是该直线与双曲线右半支有两个交点,其二是该直线与双曲线左右半支各有一个交点),节约时间,不易出错,但若想将参数方程化成一般方程的形式则比较困难,在考试时可略作取舍.
(2)此题也可使用第(1)小题的解法,只需判断是否可解出k,若不行,则上述命题不成立,反之则成立.
分情况讨论,当k不存在时,即直线为x=2时,中点为(2,0).
当k存在时,将直线方程代入双曲线得,x^2-[k(x-2)+1]^2/2=1,再利用韦达定理可求出线段中点的横坐标关于k的表达式,再代入y-1=k(x-2)可求得中点纵坐标关于k的表达式.由此可得中点轨迹的参数方程.此方法相比其他方法无需分情况讨论(一般分情况讨论的话分成两种情况,其一是该直线与双曲线右半支有两个交点,其二是该直线与双曲线左右半支各有一个交点),节约时间,不易出错,但若想将参数方程化成一般方程的形式则比较困难,在考试时可略作取舍.
(2)此题也可使用第(1)小题的解法,只需判断是否可解出k,若不行,则上述命题不成立,反之则成立.
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