已知函数f（x）=（x2+ax-a）•e1-x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．

Question

已知函数f（x）=（x²+ax-a）•e^1-x，其中a∈R．
（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；
（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=（x²+ax-a）•e^1-x，
得f′（x）=（2x+a）e^1-x-（x²+ax-a）•e^1-x=-[x²+（a-2）x-2a]•e^1-x=-（x+a）（x-2）•e^1-x，
令f′（x）=0，得x=2，或x=-a．
所以当a=-2时，函数f′（x）有且只有一个零点：x=2；
当a≠-2时，函数f′（x）有两个相异的零点：x=2，x=-a．
（Ⅱ）证明：①当a=-2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
所以，函数f（x）无极值．
②当a>-2时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以，a≥0时，f（x）的极小值为f（-a）=-ae^1+a≤0．
又x>2时，x²+ax-a>2²+2a-a=a+4>0，
所以，当x>2时，f（x）=）=（x²+ax-a）•e^1-x>0恒成立．
所以，f（-a）=-ae^1+a为f（x）的最小值．
故a≥0是函数f（x）存在最小值的充分条件．
③当a=-5时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

因为当x>5时，f（x）=（x²-5x+5）e^1-x>0，
又f（2）=-e^-1<0，
所以，当a=-5时，函数f（x）也存在最小值．
所以，a≥0不是函数f（x）存在最小值的必要条件．
综上，a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．