已知函数f（x）=lnx-cx（c∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2>e2．

Question

已知函数f（x）=lnx-cx（c∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设函数f（x）有两个相异零点x₁，x₂，求证：x1•x2>e2．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx-cx，∴x>0，
f′（x）=(1)/(x)-c=(1-cx)/(x)，
当c≤0时，f（x）单调增区间为（0，+∞）．
当c>0时，f（x）单调增区间为（0，(1)/(c)），f（x）单调减区间为（(1)/(c)，+∞）；
（2）∵f（x）有两个相异零点，∴设lnx₁=cx₁，lnx₂=cx₂，①
即lnx₁-lnx₂=c（x₁-x₂），
∴(lnx1-lnx2)/(x1-x2)=c，②
而x₁•x₂>e²，等价于：lnx₁+lnx₂>2，即c（x₁+x₂）>2，③
由①②③得：(lnx1-lnx2)/(x1-x2)（x₁+x₂）>2，
不妨设x₁>x₂>0，则t=(x1)/(x2)>1，
上式转化为：lnt>(2(t-1))/(t+1)，t>1
设H（t）=lnt-(2(t-1))/(t+1)，t>1，
则H′（t）=((t-1)2)/(t(t+1)2)>0，
故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，
∴H（t）>H（1）=0，
即不等式lnt>(2(t-1))/(t+1)成立，
故所证不等式x₁•x₂>e²成立．