出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)＝x−ax，已知g（x）在x=1处取极值．（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜2+f(x)2−f(x)成立

Question

出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h(x)＝x−a√(x)，已知g（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当1＜x＜e²时，恒有x＜(2+f(x))/(2−f(x))成立；
（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h₁（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h₁（x）的零点个数，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题设，g（x）=x²-alnx，
则g′(x)＝2x−(a)/(x)．（1分）
由已知，g'（1）=0，
即2-a=0⇒a=2．（2分）
于是h(x)＝x−2√(x)，
则h′(x)＝1−(1)/(√(x))．（3分）
由h′(x)＝1−(1)/(√(x))＞0⇒x＞1，
所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．（4分）
证明：（Ⅱ）当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，
即0＜f（x）＜2．（5分）
欲证x＜(2+f(x))/(2−f(x))，
只需证x[2-f（x）]＜2+f（x），
即证f(x)＞(2(x−1))/(x+1)．（6分）
设φ(x)＝f(x)−(2(x−1))/(x+1)＝lnx−(2(x−1))/(x+1)，
则φ′(x)＝(1)/(x)−(2(x+1)−2(x−1))/((x+1)2)＝((x−1)2)/(x(x+1)2)．
当1＜x＜e²时，φ'（x）＞0，
所以φ（x）在区间（1，e²）上为增函数．（7分）
从而当1＜x＜e²时，φ（x）＞φ（1）=0，
即lnx＞(2(x−1))/(x+1)，
故x＜(2+f(x))/(2−f(x))．（8分）
（Ⅲ）由题设，h1(x)＝x−2√(x)+6．