已知函数f（x）=x-axlnx，a∈R，若存在x0∈[e，e2]，使得f（x0）≤14lnx0成立，则实数a的取值范围为．

Question

已知函数f（x）=x-axlnx，a∈R，若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）≤ (1)/(4)lnx₀成立，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

若存在x₀∈[e，e²]，使得f（x₀）≤(1)/(4)lnx₀成立，
则由f（x）=x-axlnx-(1)/(4)lnx≤0，得axlnx≥x-(1)/(4)lnx，
即a≤(4x-lnx)/(4xlnx)，设g（x）=(4x-lnx)/(4xlnx)
则g′（x）=(-4x+ln2x)/(4x2ln2x)，
令h（x）=-4x+ln²x，
则h′（x）=-4x+(2lnx)/(x)=(-4x2+2lnx)/(x)，
再令m（x）=-4x²+2lnx，
则m′（x）=-8x+(2)/(x)<0在x∈[e，e²]恒成立，
∴m（x）在在[e，e²]为减函数，
∴m（x）_max=m（e）=-4e²+2lne<0，
∴h′（x）<0，在x∈[e，e²]恒成立
∴h（x）在在[e，e²]为减函数，
∴h（x）_max=h（e）=-4e+ln²e=-4e+1<0，
∴g（x）<0，在x∈[e，e²]恒成立
∴g（x）在[e，e²]为减函数，
∴g（x）_max=g（e）=1-(1)/(4e)，
∴a≤1-(1)/(4e)
故答案为：（-∞，1-(1)/(4e)]