（2012•绍兴模拟）已知函数f(x)＝ex−a2x2+e2x，其中e为自然对数的底数，a∈R．（I）当a=e2时，求曲线y=f（x）在x=-2处的切线方程；（II）若函数f（x）在[-2，2]上为单调增函数，求a的最大值．

Question

（2012•绍兴模拟）已知函数f(x)＝ex−(a)/(2)x2+e2x，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（I）当a=e²时，求曲线y=f（x）在x=-2处的切线方程；
（II）若函数f（x）在[-2，2]上为单调增函数，求a的最大值．

Answer 1

由题意得f（x）的定义域为R，且f′（x）=e^x-ax+e²，
（I）由于a=e²，则f（x）=e^x-(e2)/(2)x²+e²x，f′（x）=e^x-e²x+e²，
故f（-2）=e^-2-4e²，f′（-2）=e^-2+3e²，
所以f（x）在x=-2处的切线方程为：y=f′（-2）（x+2）+f（-2），即y=（e^-2+3e²）x+3e^-2+2e²，
（II）因为f（x）在[-2，2]上为单调增函数；
所以f′（x）=e^x-ax+e²≥0对任意的x∈[-2，2]恒成立，
①当x=0时，不等式成立；
②当x≠0时，即可转化为不等式a≤(ex+e2)/(x)对x∈（0，2]恒成立且不等式
a≥(ex+e2)/(x)对x∈[-2，0）恒成立，
令h（x）=(ex+e2)/(x)，-2≤x≤2，x≠0，则h′（x）=(xex−ex− e2)/(x2)
令p（x）=xe^x-e^x-e²，则p′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe^x，
当x∈[-2，0），p′（x）＜0，；当x∈（0，2]时，p′（x）＞0，
故p（x）在[-2，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增；
又p（2）=0，p（-2）＜0，
所以当x∈[-2，0）时，h′（x）＜0；当x∈（0，2]时，h′（x）≤0，
所以h（x）在∈[-2，0）上单调递减，在∈（0，2]上单调递减．
所以h（x）在∈[-2，0）上的最大值M=h（-2）=-(e−2+e2)/(2)，在（0，2]上的最小值N=h（2）=e²，
所以满足条件的实数a的取值范围为：[-(e−2+e2)/(2)，e²]，所以实数a的最大值为e²