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求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））>e2n-3，（n∈N*）．
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求证：（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））>e2n-3，（n∈N*）．
▼优质解答
答案和解析
证明：要证（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））>e2n-3，
只需证ln[（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））]>2n-3，
即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））>2n-3．
可以下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时 左边=ln3>0，右边=-1，不等式显然成立；
②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立；
③假设n=k（ k≥2）时成立，即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1）>2k-3，
那么n=k+1时，
ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
=ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1））+ln（1+（k+1）（k+2））
>2k-3+ln（1+（k+1）（k+2））
∵当k≥2时 ln（1+（k+1）（k+2））>2．
∴ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
>2k-3+2=2k-1=2（k+1）-3，
∴当n=k+1时不等式成立．
综上所述ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））>2n-3成立．
则（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））>e2n-3．
只需证ln[（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））]>2n-3，
即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））>2n-3．
可以下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时 左边=ln3>0，右边=-1，不等式显然成立；
②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立；
③假设n=k（ k≥2）时成立，即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1）>2k-3，
那么n=k+1时，
ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
=ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1））+ln（1+（k+1）（k+2））
>2k-3+ln（1+（k+1）（k+2））
∵当k≥2时 ln（1+（k+1）（k+2））>2．
∴ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
>2k-3+2=2k-1=2（k+1）-3，
∴当n=k+1时不等式成立．
综上所述ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））>2n-3成立．
则（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））>e2n-3．
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