一个证明,pi为圆周率,n为奇数1.设w为n次单位根（w=cos2pi/n+i*sin2pi/n).求证：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)=22.设角a=pi/n.求：1.cosa*cos2a*...*cosa(n-1)/22.cos2a*cos4a*...*cos(n-1)a3.t为任意角,n为正整数,a=2pi/n.求证cos^2

Question

一个证明,
pi为圆周率,n为奇数
1.设w为n次单位根（w=cos 2pi/n+i*sin 2pi/n).
求证：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)=2
2.设角a=pi/n.
求：1.cos a*cos2a*...*cos a(n-1)/2
2.cos2a*cos4a*...*cos(n-1)a
3.t为任意角,n为正整数,a=2pi/n.求证
cos^2 t+cos^2 (t+a)+cos^2 （t+2a)+...+cos^2 (t+(n-1)a)=n/2
4.给定不共线三点ABC,求证：
（1）该平面上一定唯一存在一点O,使角AOB=AOC=BOC.
（2）这点O使|OA|+|OB|+|OC|最小.
只回答一个也不要紧。
第四题条件改为：ABC最大角不超过120度。
第四题的第一问发现很好证，

Answer 1

建议把分布在单位圆上的根画在图上以供参考.
记号wk = (cos 2pi/n+i*sin 2pi/n)^k
1：用韦达定理
（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)
= (1+w1)(1+w2)...(1+wn)
= 1 + 两根互乘之和 + 三根互乘之和 + …… + N根互乘之和
由方程:w^n - 1 = 0
1 + 两根互乘之和 + 三根互乘之和 + …… + N根互乘之和
= 1 + N根互乘之和
= 1 + -1*(-1)^n
= 2 （因为n为奇数）
2.1：由于w^n = 1,得：
（1+w)(1+w^2)...[1+w^(n-1)] = 2
即：
{(1+w)[1+w^(n-1)]}{(1+w^2)[1+w^(n-2)]}……{[1+w^(n-1)/2][1+w^(n+1)/2]}=1
注意w^k和w^(n-k)互为共轭(建议画个单位圆即根的分布)
(1+w^k)*[1+w^(n-k)] = 1+w^n+w^k+w^(n-k) = {2*cos[pi*k/n]}^2 = {2*cos（a*k）}^2
可得{2cos a*2cos2a*...*2cos a(n-1)/2}^2 = 1
下面不用说了吧
2.3：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n)
= (1+w1)(1+w2)...(1+wn)
w2的k次方一定是方程w^n = 1的根
当k取便n个值时由于n是奇数,但却不会出现重复,即：（1+w)(1+w^2)...(1+w^n) = 2 中w换成w2一样成立
同理可以得到{2cos2a*2cos4a*...*2cos a(n-1)}^2 = 1
注意式中各角度都在180度以内,画个图只要正负就好了,当然做几个图可以总结一下得到通式.
3：cos^2(t+ka) = 1/2*cos[2t+2ka]+1/2
只需从0到n-1对e^[2t+2ka],求和(实际上这个和为0）然后取实部就可以的到证明中最核心的部分
4：直接看费马点的证明就可以了