若对于任意x∈（0，3e]恒有（x-a）2lnx≤4e2成立，则实数a的取值范围是3e-2e3ln⁡3e≤a≤3e3e-2e3ln⁡3e≤a≤3e．

Question

若对于任意x∈（0，3e]恒有（x-a）²lnx≤4e²成立，则实数a的取值范围是

3e-(2e)/(3√(ln⁡3e))≤a≤3e

3e-(2e)/(3√(ln⁡3e))≤a≤3e

．

Answer 1

①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e²成立，
②当1＜x≤3e时，由题意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，
解得3e-(2e)/(√(ln⁡3e))≤a≤3e+(2e)/(√(ln⁡3e))，
设f（x）=（x-a）²lnx，
则f′（x）=2（x-a）lnx+((x-a)2)/(x)=（x-a）（2lnx+1-(a)/(x)），
令h（x）=2lnx+1-(a)/(x)，
则h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-(a)/(3e)≥2ln3e+1-(3e+(2e)/(√(ln3e)))/(3e)=2（ln3e-(1)/(3√(ln⁡3e))）＞0
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，
∴函数h（x）在（0，+∞）内有唯一零点，
记此零点为x₀
则1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，
从而当x∈（0，x₀）时，f′（x）＞0，
当x∈（x₀，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）内是增函数，
在（x₀，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
∴要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立只要有：

f(x0)=(x0-a)2ln⁡x0≤4e2

f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

，
有h（x₀）=2lnx₀+1-(a)/(x0)=0，
得a=2x₀lnx₀+x₀，
将它代入f（x₀）=（x₀-a）2lnx₀≤4e²得4x₀²ln³x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函数4x²ln³x在（1，+∞）上是增函数，故1＜x₀≤e，
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e，
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得3e-(2e)/(√(ln⁡3e))≤a≤3e+(2e)/(√(ln⁡3e))，
∴得3e-(2e)/(3√(ln⁡3e))≤a≤3e，
综上，a的取值范围为3e-(2e)/(3√(ln⁡3e))≤a≤3e．
故答案为：3e-(2e)/(3√(ln⁡3e))≤a≤3e．