如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8。（1）求椭圆E的方程。（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一

Question

如图，椭圆E： 的左焦点为F ₁ ，右焦点为F ₂ ，离心率e= ，过F ₁ 的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF ₂ 的周长为8。

（1）求椭圆E的方程。
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

如图，椭圆E： 的左焦点为F ₁ ，右焦点为F ₂ ，离心率e= ，过F ₁ 的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF ₂ 的周长为8。

（1）求椭圆E的方程。
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（1）∵过F ₁ 的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF ₂ 的周长为8
∴4a=8，
∴a=2
∵e=  ，
∴c=1
∴b ² =a ² -c ² =3
∴椭圆E的方程为  。
（2）由 ，消元可得（4k ² +3）x ² +8kmx+4m ² -12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x ₀ ，y ₀ ）
∴m≠0，△=0，
∴（8km） ² -4×（4k ² +3）×（4m ² -12）=0
∴4k ² -m ² +3=0①
此时x ₀ = = ，y ₀ = ，
即P（ ， ）
由 得Q（4，4k+m）
取k=0，m= ，此时P（0， ），Q（4， ），
以PQ为直径的圆为（x-2） ² +（y- ） ² =4，交x轴于点M ₁ （1，0）或M ₂ （3，0）
取k= ，m=2，此时P（1， ），Q（4，0），
以PQ为直径的圆为（x- ） ² +（y- ） ² = ，交x轴于点M ₃ （1，0）或M ₄ （4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），
证明如下∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）。